対数微分法を試す

対数微分法はなんか難しそうな関数を微分する方法らしいです。 おそらく両辺をxで微分するところで左辺で合成関数の微分をするところが結構の数の受験生には分かりづらいと思うので式を略さないで書いてみた。

$ ①関数 y = x^x を微分することにする\\ $
$ 両辺の自然対数をとる \\ \log y = x\log x \\ 両辺をxで微分する \\ \dfrac{d}{dx} \log y = \dfrac{d}{dy} \log y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{y} y' = \dfrac{y'}{y} ... 合成関数の微分 \\ \dfrac{d}{dx} x \log x = x' \log x + x(\log )' = 1 \log x + x \dfrac{1}{x} = \log x + 1 ... 積の微分 \\ 上記から \\ \dfrac{y'}{y} = \log x + 1 \\ y' = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1) $

$ ②関数 y = a^x を微分することにする\\ $
$ 両辺の自然対数をとる \\ \log y = x\log a \\ 両辺をxで微分する \\ \dfrac{d}{dx} \log y = \dfrac{d}{dy} \log y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{y} y' = \dfrac{y'}{y} ... 合成関数の微分 \\ \dfrac{d}{dx} x \log a = x' \log a + x(\log a)' = 1 \log a + x 0 = \log a ... 積の微分 \\ 上記から \\ \dfrac{y'}{y} = \log a \\ y' = y \log a = a^x \log a $