放送大学大学院の過去問を解いてみる。

放送大学大学院の修士全科生入学者選考筆記試験問題の平成26年と平成25年の第２問ソフトウエア分野だけ一応解いてみました。

平成26年度大学院修士全科生入学者選考筆記試験問題 第２問
(1)
(ア)完全2分木の葉の数は$2^n$、葉以外のノードの数は$2^n-1$
(イ)木が持ち得る葉の最小の数は$2^1$で$2$、最大の数は$2^\infty$で$\infty$だろうか...
(2)
(ア)10011
(イ)引数の値を2進数に変換する

こういうのは実際に書くのが一番確実ですね。
平成25年度大学院修士全科生入学者選考筆記試験問題 第２問
(1)C言語の特徴とよく使われる分野はまとめるのは大変なのでwikipediaを見てね。
(2)
(ア)34512 -> 34152 -> 34125 -> 31425-> 31245 -> 13245 -> 12345
(イ)数字を降順にソートする機能。根拠は...すべての値に対してデータの比較と交換を行っているからでしょうか？
(ウ)$(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1=\dfrac{n(n-1)}{2}$
(エ)$O(n^2)$

AsynchronousSocketChannelとAsynchronousServerSocketChannelを使ったサンプル

AsynchronousSocketChannelとAsynchronousServerSocketChannelを使って簡単なサーバクライアントサンプルを書いてみました。 Futureが返却されるので非同期タスクを細かく制御できるようです。これだけ長いクラスを使うのだから、それだけの恩恵は欲しいですね。

少しましなWebGLサンプル

はじめてのWebGLのサンプルはindex.htmlにGLSLもJavaScriptもすべて詰め込んでしまっていたので、GLSLをHTMLに書いて、JavaScriptは切り分けるように書き直した。webgl-debug.jsはDebugging - WebGL Public Wikiの物を使えばいいです。

必要条件と十分条件

少し前に考えていたけど必要条件と十分条件という言葉を日常生活や仕事でドヤ顔で使ってしまうと数学ばっかりやってる人にとっては混乱すると思った。まず数学ではこんな感じで定義されていた。

\[ p \rightarrow q が真のとき\\ pはqであるため十分条件である\\ qはpであるための必要条件である\\ 集合で表すとp \subset q \]

でも日常生活や仕事では

「ナシ(p)であるための必要条件は果物(q)であることだが十分条件ではない。
ナシ(p)であるための十分条件は果物(q)であることと黄緑(r)であることだ。」

のような使われ方をすることがあるんじゃないだろうか。(多分ない)
つまり何かを定義するために「必要な」条件と「十分な」条件という意味で使っている例をよく見る。 この文章を、論理式的に書くとこんな形になると思う。

\[ q \rightarrow p = False \\ p \rightarrow q = True \\ q \land r \rightarrow p = True\\ 集合で表すとq \land r \subset p \subset q \]

このとき$q$が必要条件となって$q \land r$が十分条件になるはずなので数学の意味とは若干乖離がある。ここで混乱するのは表現方法や発想は数学と全く異なるのに結果的には数学の必要条件、十分条件の意味としても辻褄があってしまうことだ。 また集合として表現する場合、必要条件が十分条件を含むので十分条件が小さいはずなのだが日常で使う方が条件が 多くなるので最初大きく見えてしまうのも混乱してしまう。
結論としては十分条件と必要条件という言葉は数学以外で使わない方がよいと思った。 あとmathjaxで論理式を使いたかっただけなので間違えていたら指摘してください。

対数微分法を試す

対数微分法はなんか難しそうな関数を微分する方法らしいです。 おそらく両辺をxで微分するところで左辺で合成関数の微分をするところが結構の数の受験生には分かりづらいと思うので式を略さないで書いてみた。

$ ①関数 y = x^x を微分することにする\\ $
$ 両辺の自然対数をとる \\ \log y = x\log x \\ 両辺をxで微分する \\ \dfrac{d}{dx} \log y = \dfrac{d}{dy} \log y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{y} y' = \dfrac{y'}{y} ... 合成関数の微分 \\ \dfrac{d}{dx} x \log x = x' \log x + x(\log )' = 1 \log x + x \dfrac{1}{x} = \log x + 1 ... 積の微分 \\ 上記から \\ \dfrac{y'}{y} = \log x + 1 \\ y' = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1) $

$ ②関数 y = a^x を微分することにする\\ $
$ 両辺の自然対数をとる \\ \log y = x\log a \\ 両辺をxで微分する \\ \dfrac{d}{dx} \log y = \dfrac{d}{dy} \log y \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{y} y' = \dfrac{y'}{y} ... 合成関数の微分 \\ \dfrac{d}{dx} x \log a = x' \log a + x(\log a)' = 1 \log a + x 0 = \log a ... 積の微分 \\ 上記から \\ \dfrac{y'}{y} = \log a \\ y' = y \log a = a^x \log a $

両替問題を解いてみる。

両替問題を解いてみました。 やっていることは1000円を日本の硬貨(500円,100円,50円,10円,5円,1円)の6種類で払った場合の支払うすべての組み合わせの数を計算します。 アルゴリズムとしては高い硬貨から任意の数とっていくことを1000円になるまで再帰的に繰り返しています。 結果としては24万8908通りありました。手で計算するのはやり方が分かりませんが大変そうですね。あとなぜかC言語で書きましたが残念ながら完全に忘れていることが分かりました。

2次方程式の解の証明をMathJaxで書く

MathJaxを試してみました。2次方程式の解の証明も簡単に書くことができました。

$ ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}=0 \Rightarrow \displaystyle \left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} \right)-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\ \Rightarrow \displaystyle \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \Rightarrow x + \dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

MathJaxの内容はこんな感じです。

$
ax^2+bx+c=0\\
\Rightarrow x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}=0 
\Rightarrow \displaystyle \left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} \right)-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\
\Rightarrow \displaystyle \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}
\Rightarrow x + \dfrac{b}{2a}=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Rightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$